Question

在平面直角坐标系xoy中，已知点B（1，0）圆A：（x+1）²+y²=16，动点P在圆A上，线段BP的垂直平分线AP相交点Q，设动点Q的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点D（1，0）点且斜率为1的直线与曲线C交于A、B两点，求弦长AB．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知|QP|=|QB|，Q在线段PA上，利用椭圆的定义，可求曲线C的方程；
（Ⅱ）求出AB的方程，联立直线与椭圆方程，设出A，B坐标，通过韦达定理以及弦长公式即可求解|AB|的距离．

解答： 解：（Ⅰ）由已知|QP|=|QB|，Q在线段PA上，所以|AQ|=|QP|=4，|AQ|+|QB|=4
所以点C的轨迹是椭圆，2a=4，a=2，2c=2，c=1，∴b²=3，
所以C点的轨迹方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ），AB的直线方程为：y=x-1．

y=x-1 x2 4 + y2 3 =1

，
整理得：7x²-8x-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=

8

7

，x₁•x₂=-

8

7

，
|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

12 2

7

=

24

7

．

点评：本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的关系，弦长公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．