Question

如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点F₁，F₂和短轴的一个端点A构成等边三角形，点（

3

，

3

2

）在椭圆C上，直线l为椭圆C的左准线．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点P是椭圆C上的动点，PQ⊥l，垂足为Q．是否存在点P，使得△F₁PQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出椭圆方程，根据△AF₁F₂为正三角形可推断出a和b的关系，设b²=3λ，a²=4λ，代入椭圆方程，进而把点（

3

，

3

2

）代入即可求得λ，则椭圆的方程可得．
（Ⅱ）根据（1）可求得椭圆的离心率，进而求得PF₁和PQ的关系，假设PF₁=F₁Q根据PF₁=

1

2

PQ推断出PF₁+F₁Q=PQ，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，假设不成立，再看若F₁Q=PQ，设出P点坐标，则Q点坐标可得，进而表示出F₁Q和PQ求得x和y的关系，与椭圆方程联立求得P点坐标．判断出存在点P（-

4

7

，±

3 15

7

），使得△PF₁Q为等腰三角

解答：解：（Ⅰ）椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由已知△AF₁F₂为正三角形，所以

b

a

=

3

2

，

b2

a2

=

3

4

．
设b²=3λ，a²=4λ，椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=λ．
椭圆经过点（

3

，

3

2

），解得λ=1，
所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由

PF1

PQ

=e=

1

2

，得PF₁=

1

2

PQ．所以PF₁≠PQ．
1若PF₁=F₁Q，∵PF₁=

1

2

PQ，∴PF₁+F₁Q=PQ，
与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，所以PF₁不可能与PQ相等．
②若F₁Q=PQ，设P（x，y）（x≠±2），则Q（-4，y）．
∴

32+y2

=4+x，
∴9+y²=16+8x+x²，
又由

x2

4

+

y2

3

=1，得y²=3-

3

4

x²．
∴9+3-

3

4

x²=16+8x+x²，
∴

7

4

x²+8x+4=0．
∴7x²+32x+16=0．
∴x=-

4

7

或x=-4．
因为x∈（-2，2），所以x=-

4

7

．所以P（-

4

7

，±

3 15

7

）．
综上，存在点P（-

4

7

，±

3 15

7

），使得△PF₁Q为等腰三角

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．