Question

如果一个数列的各项均为实数，且从第二项起开始，每一项的平方与它前一项的平方的差都是同一个常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
（1）若数列{b_n}是等方差数列，b₁=1，b₂=3，求b₇；
（2）是否存在一个非常数数列的等差数列或等比数列，同时也是等方差数列？若存在，求出这个数列；若不存在，说明理由．
（3）若正项数列{a_n}是首项为2、公方差为4的等方差数列，数列{

1

an

}的前n项和为T_n，是否存在正整数p，q，使不等式Tn＞

pn+q

-1对一切n∈N^*都成立？若存在，求出p，q的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等方差数列的定义求出公方差，即可求得b₇的值；
（2）若数列{a_n}是等差数列，设a_n=an+b（a，b∈R），利用{a_n}也是等方差数列，应有an2-an-12=k（k为与n无关的常数），从而可得a_n=b必为一常数数列；若数列{a_n}是等比数列，利用{a_n}也是等方差数列，应有an2-an-12=k（k为与n无关的常数），可得q=±1，再验证即可；
（3）先求数列{

1

an

}的前n项和，再假设存在正整数p，q，使不等式Tn＞

pn+q

-1对一切n∈N^*都成立，猜想p=q=1，再进行证明．

解答：解：（1）由{b_n}是等方差数列，b₁=1，b₂=3，有公方差d=3²-1²=8，------（1分）
于是b72=1+(7-1)×8=49，∴b₇=±7------------------------------（3分）
（2）若数列{a_n}是等差数列，设a_n=an+b（a，b∈R），则an2=a2n2+2abn+b2，
要使{a_n}也是等方差数列，应有an2-an-12=k（k为与n无关的常数），得a²=0，即a=0，这时a_n=b必为一常数数列，因此不存在一个非常数数列的等差数列，同时也是等方差数列．-----（5分）
若数列{a_n}是等比数列，设an=a1qn-1（q为公比且q≠0），则an2=a12q2n-2，
要使{a_n}也是等方差数列，应有an2-an-12=k（k为与n无关的常数），即a12q2n-2-a12q2n-4=a12q2n-4(q2-1)=k，所以必有q²=1，q=±1，----------（7分）
当q=1时，数列{a_n}是常数数列，故舍去
当q=-1时，所以存在一个非常数数列的等比数列，同时也是等方差数列，其公比q=-1．--（9分）
（3）由于{a_n}是首项为2，公方差为4的等方差数列，∴an2=a12+(n-1)d=4+4(n-1)=4n，
∴an=2

n

，------（10分）
∴数列{

1

an

}的前n项和为：Tn=

1

2

(

1

1

+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)---（11分）
假设存在正整数p，q使不等式

1

2

(

1

1

+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)＞

pn+q

-1对一切n∈N^*都成立．
即

1

1

+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞2(

pn+q

-1)
当n=1时，1＞2(

p+q

-1)，∴p+q＜

9

4

，又p，q为正整数，∴p=q=1．--（13分）
下证明：

1

1

+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞2(

n+1

-1)对一切n∈N^*都成立．
由于

1

n

=

2

n + n

＞

2

n+1 + n

=2(

n+1

-

n

)(n∈N*)
所以

1

1

+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞2[(

2

-1)+(

3

-

2

)+…+(

n+1

-

n

)]=2(

n+1

-1)．（16分）

点评：本题考查新定义，考查等差数列与等比数列的综合，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键．