Question

在两个各项均为正数的数列a_n、b_n（n∈N^*）中，已知a_n、b_n²、a_n+1成等差数列，并且b_n²、a_n+1、b_n+1²成等比数列．
（Ⅰ）证明：数列b_n是等差数列；
（Ⅱ）若a₁=2，a₂=6，设cn=(an-n2)•qbn（q＞0为常数），求数列c_n的前n项和S_n

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据等差数列和等比数列的性质联立方程求得a_n+1=b_nb_n+1，进而求得a_n=b_n-1b_n，代入2b_n²=a_n+a_n+1，求得2b_n=b_n-1+b_n+1，判断出数列b_n是等差数列．
（Ⅱ）2b_n²=a_n+a_n+1求得b₁，根据（1）中的结论求得数列{b_n}的通项公式，进而根据a_n=b_n-1b_n，求得a_n．进而C_n的通项公式可得先看当q=1时，C_n=n，进而根据等差数列的求和公式求得前n项的和；再看q≠0时，应用错位相减法求得前n项的和．最后综合可得答案．

解答：解：（I）由题意知

2bn2=an+an+1 an+12=bn2•bn+12

，
又∵数列a_n、b_n各项都是正数，∴a_n+1=b_nb_n+1，则a_n=b_n-1b_n
代入2b_n²=a_n+a_n+1，得2b_n²=b_n-1b_n+b_nb_n+1
即2b_n=b_n-1+b_n+1，所以数列b_n是等差数列．

（II）∵a₁=2，a₂=6，又2b_n²=a_n+a_n+1，得2b₁²=a₁+a₂=8，解得b₁=2
又∵a₂=b₁b₂=6∴b₂=3，由（I）知数列b_n是等差数列，则公差d=b₂-b₁=1
∴b_n=b₁+（n-1）d=2+n-1=n+1，
又a_n=b_n-1b_n，得a_n=n（n+1）=n²+n，
∴cn=(an-n2)•qbn=nqn+1，
则当q=1时，c_n=n，此时Sn=

n(n+1)

2

；
当q≠1时，S_n=c₁+c₂++c_n=1×q²+2×q³++nqⁿ⁺¹，①
所以qS_n=qc₁+qc₂++qc_n=1×q³+2×q⁴++nqⁿ⁺²②
由①-②，得(1-q)Sn=q2+q3+qn+1-nqn+2=

q2(1-qn)

1-q

-nqn+2，
即Sn=

q2(1-qn)

(1-q)2

-

nqn+2

1-q

综上可知，Sn=

n(n+1) 2 ，(q=1) q2(1-qn) (1-q)2 - nqn+2 1-q ，(q≠1)

点评：本题主要考查了数列的求和问题．考查了学生对等比数列和等差数列基础知识的掌握．