Question

3．设二次函数f（x）=x²+ax+a．
（1）若方程f（x）-x=0的两实根x₁和x₂满足0＜x₁＜x₂＜1．求实数a的取值范围．
（2）求函数g（x）=af（x）-a²（x+1）-2x在区间[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）令m（x）=f（x）-x=x²+（a-1）x+a．利用已知条件，通过二次函数的对称轴，函数值列出不等式组，求解a的范围即可．
（2）g（x）=ax²-2x，通过①当a=0时，②当a＞0时，若$\frac{1}{a}≤1即a≥1$，若$\frac{1}{a}＞1即0＜a＜1$，③当a＜0时，判断函数的单调性，然后求解函数的最小值．

解答 （本小题10分）   解：（1）令m（x）=f（x）-x=x²+（a-1）x+a．
依题意，$\left\{{\begin{array}{l}{△＞0}\\{0＜\frac{1-a}{2}＜1}\\{m（1）＞0}\\{m（0）＞0}\end{array}}\right.$得$0＜a＜3-2\sqrt{2}$，故实数a的取值范围为 $（0，3-2\sqrt{2}）$．
（2）g（x）=ax²-2x
①当a=0时，g（x）=-2x在[0，1]上递减，∴g（x）_min=g（1）=-2．
②当a＞0时，函数$g（x）=a{（x-\frac{1}{a}）^2}-\frac{1}{a}$图象的开口方向向上，且对称轴为$x=\frac{1}{a}＞0$．
若$\frac{1}{a}≤1即a≥1$，函数g（x）在$[0，\frac{1}{a}]$上递减，在$[\frac{1}{a}，1]$上递增．∴$g{（x）_{min}}=g（\frac{1}{a}）=-\frac{1}{a}$．
若$\frac{1}{a}＞1即0＜a＜1$，函数g（x）在[0，1]上递减．∴g（x）_min=g（1）=a-2．
③当a＜0时，函数$g（x）=a{（x-\frac{1}{a}）^2}-\frac{1}{a}$的图象的开口方向向下，且对称轴$x=\frac{1}{a}＜0$，g（x）在[0，1]上递减，∴g（x）_min=g（1）=a-2
综上所述，$g{（x）_{min}}=\left\{{\begin{array}{l}{a-2（a＜1）}\\{-\frac{1}{a}（a≥1）}\end{array}}\right.$

点评 本题考查二次函数的简单性质的应用，函数的零点问题的处理方法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．