Question

已知倾斜角为45°的直线l过点A（1，-2）和点B，B在第一象限，|AB|=3

2

．
（1）求点B的坐标；
（2）若直线l与双曲线C：

x2

a2

-y2=1（a＞0）相交于E、F两点，且线段EF的中点坐标为（4，1），求a的值；
（3）对于平面上任一点P，当点Q在线段AB上运动时，称|PQ|的最小值为P与线段AB的距离．已知点P在x轴上运动，写出点P（t，0）到线段AB的距离h关于t的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）先设直线AB方程为y=x-3，设点B（x，y），由

y=x-3 (x-1)2+(y+2)2=18

及B在第一象限求解．
（2）先联立直线方程与双曲线方程，消元转化为：(

1

a2

-1)x2+6x-10=0，再由韦达定理求解．
（3）先设线段AB上任意一点Q坐标为Q（x，x-3），根据两点间的距离公式建立二次函数模型，|PQ|=

(t-x)2+(x-3)2

，
记f(x)=

(t-x)2+(x-3)2

=

2(x- t+3 2 )2+ (t-3)2 2

（1≤t≤4），再根据对称轴和区间的相对位置，分类讨论求解．

解答：解：（1）直线AB方程为y=x-3，设点B（x，y），
由

y=x-3 (x-1)2+(y+2)2=18

及x＞0，y＞0得x=4，y=1，点B的坐标为（4，1）．
（2）由

y=x-3 x2 a2 -y2=1

得(

1

a2

-1)x2+6x-10=0，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则x1+x2=-

6a2

1-a2

=4，得a=2．

（3）设线段AB上任意一点Q坐标为Q（x，x-3），|PQ|=

(t-x)2+(x-3)2

，
记f(x)=

(t-x)2+(x-3)2

=

2(x- t+3 2 )2+ (t-3)2 2

（1≤t≤4），
当1≤

t+3

2

≤4时，即-1≤t≤5时，|PQ|min=f(

t+3

2

)=

|t-3|

2

，
当

t+3

2

＞4，即t＞5时，f（x）在[1，4]上单调递减，|PQ|min=f(4)=

(t-4)2+1

；
当

t+3

2

＜1，即t＜-1时，f（x）在[1，4]上单调递增，|PQ|min=f(1)=

(t-1)2+4

．
综上所述，h(t)=

(t-1)2+4 ，t＜-1 |t-3| 2 ，-1≤t≤5 (t-4)2+1 ，t＞5

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，中点坐标公式及两点间的距离公式，同时考查了建立函数模型求最值的能力．