Question

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC=45°，PA=AB，则直线AP与平面PBC所成的角的正切值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 连结AC、BD，交于点O，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AP与平面PBC所成的角的正切值．

解答 解：连结AC、BD，交于点O，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意A（0，-$\sqrt{2-\sqrt{2}}$，0），P（0，-$\sqrt{2-\sqrt{2}}$，2），B（$\sqrt{2+\sqrt{2}}$，0，0），C（0，$\sqrt{2-\sqrt{2}}$，0），
$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{2+\sqrt{2}}$，$\sqrt{2-\sqrt{2}}$，-2），$\overrightarrow{PC}$=（0，2$\sqrt{2-\sqrt{2}}$，-2），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{2+\sqrt{2}}x+\sqrt{2-\sqrt{2}}y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=2\sqrt{2-\sqrt{2}}y-2z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$，1，$\sqrt{2-\sqrt{2}}$），
设直线AP与平面PBC所成的角的为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AP}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2\sqrt{6-3\sqrt{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cosθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
tanθ=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直线AP与平面PBC所成的角的正切值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查线面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．