Question

以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=2

5

，曲线C的参数方程为

x=2cosφ y=sinφ

（φ为参数），则曲线C上的点到直线l的最短距离为

 

．

Answer 1

分析：由题意将曲线C和直线l先化为一般方程坐标，然后再计算曲线C上的点到直线l的最短距离．

解答：解：∵直线l的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=2

5

，
∵x=pcosθ，y=psinθ，
∴x+y=2

5

，
∵曲线C的参数方程为

x=2cosφ y=sinφ

（φ为参数），
∴

x2

4

+y²=1，
可以设直线y=-x+k与椭圆

x2

4

+y²=1相切，
∴5x²-8kx+4k²-4=0，
△=0，∴64k²-20（4k²-4）=0，
∴k=±

5

∴直线y=-x±

5

与直线x+y=2

5

，的距离即是最短距离，
∴d=

|2 5 |

2

±

5

2

，
∴曲线C上的点到直线l的最短距离为

10

2

．
故答案为

10

2

．

点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．