Question

对于n∈N^*，抛物线y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1与x轴相交于A_n，B_n两点，以|A_nB_n|表示该两点间的距离，则|A₁B₁|+|A₂B₂|+|A₃B₃|+…+|A₂₀₁₂B₂₀₁₂|的值是（　　）

• A．

  2012

  2013

• B．

  2011

  2013

• C．

  2011

  2012

• D．

  2010

  2012

Answer 1

分析：由（n²+n）x²-（2n+1）x+1=0，解得x=

1

n

或

1

n+1

．令A_n（

1

n

，0），B_n(

1

n+1

，0)．可得|A_nB_n|=

1

n

-

1

n+1

，利用“裂项求和”即可得出．

解答：解：由（n²+n）x²-（2n+1）x+1=0，解得x=

1

n

或

1

n+1

．令A_n（

1

n

，0），B_n(

1

n+1

，0)．
则|A_nB_n|=

1

n

-

1

n+1

，
∴|A₁B₁|+|A₂B₂|+|A₃B₃|+…+|A₂₀₁₂B₂₀₁₂|=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

2012

-

1

2013

)=1-

1

2013

=

2012

2013

．
故选A．

点评：本题考查了函数的零点、“裂项求和”、两点间的距离公式等基础知识与基本方法，属于中档题．