Question

10．函数f（x）的图象如图所示，曲线BCD为抛物线的一部分．
（Ⅰ）求f（x）解析式； 
（Ⅱ）若f（x）=1，求x的值；
（Ⅲ）若f（x）＞f（2-x），求x的取值范围．

Answer 1

分析 （I）当-1≤x≤0时图形为直线，根据两点坐标可求出解析式；当0＜x≤3时，函数图象为抛物线，设函数解析式为y=a（x-1）（x-3），带入坐标点可求出抛物线方程；
（II）函数f（x）图形与直线y=1的交点横坐标即为所求x的值；
（III）结合函数图形，利用函数的单调性来求解x的取值范围；

解答 解：（ I）当-1≤x≤0时，函数图象为直线且过点（-1，0）（0，3），直线斜率为k=3，
所以y=3x+3；
当0＜x≤3时，函数图象为抛物线，设函数解析式为y=a（x-1）（x-3），
当x=0时，y=3a=3，解得a=1，所以y=（x-1）（x-3）=x²-4x+3，
所以$y=\left\{{\begin{array}{l}{3x+3，-1≤x≤0}\\{{x^2}-4x+3，0＜x≤3}\end{array}}\right.$．
（ II）当x∈[-1，0]，令3x+3=1，解得$x=-\frac{2}{3}$；
当x∈（0，3]，令x²-4x+3=1，解得$x=\frac{{4±\sqrt{16-8}}}{2}=2±\sqrt{2}$，
因为0＜x≤3，所以$x=2-\sqrt{2}$，
所以$x=-\frac{2}{3}$或$x=2-\sqrt{2}$；
（ III）当x=-1或x=3时，f（x）=f（2-x）=0，
当-1＜x＜0时，2＜2-x＜3，由图象可知f（x）＞0，f（2-x）＜0，
所以f（x）＞f（2-x）恒成立；
当0≤x≤2时，0≤2-x≤2，f（x）在[0，2]上单调递减，
所以当x＜2-x，即x＜1时f（x）＞f（2-x），所以0≤x＜1；
当2＜x＜3时，-1＜2-x＜0，此时f（x）＜0，f（2-x）＞0不合题意；
所以x的取值范围为-1＜x＜1

点评 本题主要考查了函数图形，分段函数解析式求法以及函数图形的基本性质，属基础题．