Question

已知函数f（x）=

kx+k(a-1)， x≥0 1 3 x3- 1 2 ax2+(a-1)x-a2+2a-2， x＜0

其中a∈R，若对任意的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂（x₁≠x₂），使得f（x₁）=f（x₂）成立，则k的最大值为（　　）

• A、-1
• B、-2
• C、-4
• D、-3

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：由题意求导f′（x）=x²-ax+（a-1）=（x-a+1）（x-1），从而确定函数的单调性，从而可得k=

-a2+2a-2

a-1

=-（a-1+

1

a-1

）≤-2，从而解得．

解答： 解：由题意，当x＜0时，
f′（x）=x²-ax+（a-1）=（x-a+1）（x-1），
则由题意知函数f（x）在（-∞，0）上是增函数，
故-a+1≤0，故a≥1；
而由-a²+2a-2=k（a-1）知，
当a=1时不成立，
故a＞1，
则k=

-a2+2a-2

a-1

=-（a-1+

1

a-1

）≤-2
（当且仅当a-1=

1

a-1

，即a=2时，等号成立）；
故k的最大值为-2；
故选B．

点评：本题考查了导数的综合应用及基本不等式的应用，属于中档题．