Question

【题目】【2017黑龙江大庆实验中学仿真模拟】如图,在四棱锥P—ABCD中,平面PAD⊥底面ABCD,其中底面ABCD为等腰梯形,AD∥BC,PA＝AB＝BC＝CD＝2,PD＝2,PA⊥PD,Q为PD的中点.

（Ⅰ）证明：CQ∥平面PAB；

（Ⅱ）求直线PD与平面AQC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

（Ⅰ）证明 如图所示,取PA的中点N,连接QN,

BN.在△PAD中,PN＝NA,PQ＝QD,

所以QN∥AD,且QN＝AD.

在△APD中,PA＝2,PD＝2,PA⊥PD,

所以AD＝＝4,而BC＝2,所以BC＝AD.

又BC∥AD,所以QN∥BC,且QN＝BC,

故四边形BCQN为平行四边形,所以BN∥CQ.

又BN平面PAB,且CQ平面PAB, 所以CQ∥平面PAB.

（Ⅱ）如图,取AD的中点M,连接BM；取BM的中点O,连接BO、PO.

由(1)知PA＝AM＝PM＝2,

所以△APM为等边三角形,

所以PO⊥AM. 同理BO⊥AM.

因为平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥BO.

如图,以O为坐标原点,分别以OB,OD,OP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),D(0,3,0),A(0,－1,0),B(,0,0),P(0,0,),C(,2,0),

则＝(,3,0).

因为Q为DP的中点,故Q,所以＝.

设平面AQC的法向量为m＝(x,y,z),

则可得

令y＝－,则x＝3,z＝5. 故平面AQC的一个法向量为m＝(3,－,5).

设直线PD与平面AQC所成角为θ.

则sinθ= |cos〈,m〉|＝＝.

从而可知直线PD与平面AQC所成角正弦值为.