Question

【题目】10.已知{an}是正数组成的数列，a1=1，且点( ，an+1)(n∈N*)在函数y=x2+1的图象上.
（1）求数列{an}的通项公式.
（2）若数列{bn}满足b1=1，bn+1=bn+ ，求证：bn·bn+2< .

Answer 1

【答案】
（1）由已知得an+1=an+1，

则an+1-an=1，又a1=1，

所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列.

故an=1+(n-1)×1=n.

（2）由(1)知，an=n，从而bn+1-bn=2n.

bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1

=2n-1+2n-2+…+2+1

= =2n-1.

因为bn·bn+2-

=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2

=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2·2n+1+1)

=-2n<0，

所以bn·bn+2< .

【解析】分析：要证bn·bn+2< ，就是比较bn·bn+2和 的大小，比较两个数的大小一般用作差法