Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx，x∈（0，+∞），其导函数为f′（x），现有如下命题：
①对x1∈（0，+∞），x2∈（0，+∞），使得x2f（x1）＞x1f（x2）；
②对x1∈（0，+∞），对x2∈（0，+∞）且x1≠x2 ， 使得f（x1）﹣f（x2）＜x2﹣x1；
③当a＞3时，对x∈（0，+∞），不等式f（a+x）＜f（a）ex恒成立；
④当a＞3时，对x∈（3，+∞），且x≠a时，不等式f（x）＞f（a）+f′（a）（x﹣a）恒成立；其中真命题的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：函数的定义域为（0，+∞），∵f′（x）=lnx+1，令lnx+1＜0得0＜x＜ ，
∴函数f（x）=xlnx的单调递减区间是（ 0， ），单调增区间为（ ，+∞）．
其大致图象如下：

对于①，x2f（x1）＞x1f（x2）可变为 ；
原命题等价于，在函数f（x）图象上任一点A（x1 ， f（xx1）），都存在点B（x2 ， f（x2）），使得直线OA的斜率大于OB的斜率，结合图象可判定①正确．
对于②，f（x1）﹣f（x2）＜x2﹣x1可变为f（x1）+x1）＜f（x2）+x2 ， 原命题等价于，函数g（x）=f（x）+x，对x2∈（0，+∞），都存在x1∈（0，+∞）使g（x2）＞g（x1）；
∵g′（x）=f′（x）+1=lnx+2，显然函数g（x）有最小值，故不存在，故②错；
对于③，f（a+x）＜f（a）ex（a+x）ln（a+x）＜alna）ex ，构造函数g（x）= ，则问题就是要求g（a+x）＜g（a）恒成立．
g′（x）= ，令h（x）=lnx+1﹣xlnx，则h′（x）= ﹣lnx﹣1，显然h′（x）是减函数．
当x＞1时，h′（x）＜h′（1）=0，从而函数h（x）在（1，+∞）上也是减函数．
从而当x＞3时，h（x）＜h（e）=lne+1﹣elne=2﹣e＜0，即 g′（x）＜0，
即函数g（x）= 在区间（3，+∞）上是减函数．
当a＞3时，对于任意的非零正数x，a+x＞a＞3，进而有g（a+x）＜g（a）恒成立，故③正确；
对于④，构造函数h（x）=f（x）f（a）﹣f′（a）（x﹣a）=xlnx﹣xlna﹣x+a，（x＞3）
h′（x）=lnx﹣lna，可知h（x）在（3，a）递减，在（a，+∞）递减，h（x）≥h（a）=0，∴x≠a时，不等式f（x）＞f（a）+f′（a）（x﹣a）恒成立，故④正确；
故选：C．
【考点精析】通过灵活运用命题的真假判断与应用，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系即可以解答此题．