Question

已知函数 ．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数的图像在点处的切线的斜率为，问： 在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？
（Ⅲ）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，试求实数的取值范围．

Answer 1

解：（Ι）由知：
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；………………4分
（Ⅱ）由得
∴，.             ………………………5分

∴,
∵ 函数在区间上总存在极值，
∴有两个不等实根且至少有一个在区间内…………6分
又∵函数是开口向上的二次函数，且，∴                                          …………7分
由，∵在上单调递减，
所以；∴，由，解得；
综上得： 所以当在内取值时，对于任意，函数，在区间上总存在极值 。                                                …………8分
（Ⅲ）令，则
.
1. 当时，由得，从而,
所以，在上不存在使得；…………………10分
2. 当时，,
在上恒成立，故在上单调递增。
故只要，解得     
综上所述，的取值范围是…………………12分

略