Question

10．设x、y、z∈（0，+∞），且3^x=4^y=6^z，求证：$\frac{1}{z}-\frac{1}{x}=\frac{1}{2y}$．

Answer 1

分析 设3^x=4^y=6^z=k＞1，可得x=$\frac{lgk}{lg3}$，y=$\frac{lgk}{lg4}$，z=$\frac{lgk}{lg6}$，代入即可证明．

解答 证明：设3^x=4^y=6^z=k＞1，
则x=$\frac{lgk}{lg3}$，y=$\frac{lgk}{lg4}$，z=$\frac{lgk}{lg6}$，
∴$\frac{1}{z}-\frac{1}{x}$=$\frac{lg6}{lgk}$-$\frac{lg3}{lgk}$=$\frac{lg2}{lgk}$=$\frac{1}{2}•\frac{lg4}{lgk}$=$\frac{1}{2y}$，
∴$\frac{1}{z}-\frac{1}{x}=\frac{1}{2y}$．

点评 本题考查了指数式化为对数式、对数的运算法则及其换底公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．