Question

曲线f（x）=e^x（其中e为自然对数的底数）在点（0，1）处的切线与直线y=-x+3和x轴所围成的区域D（包含边界），点P（x，y）为区域D内的动点，则z=x-3y的最大值为（　　）

• A、3
• B、4
• C、-1
• D、2

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：求出函数f（x）的导数，求出切线的斜率，写出切线方程，画出可行域D，画出直线l₀，将它平移观察经过点（3，0）时取得最大值，求出即可．

解答： 解：f（x）=e^x的导数为f′（x）=e^x，
在点（0，1）处的切线斜率为e⁰=1，
则切线方程为：y=x+1，由

y=x+1 y=-x+3

求出交点为（1，2），
如图画出区域D，作出直线l₀：x-3y=0，
平移直线l₀，观察当经过点（3，0）时，
z=x-3y取最大值3．
故选：A．

点评：本题主要考查导数的几何意义及应用，求切线方程，同时考查线性规划应用于求目标函数的最值，是一道基础题．