Question

是否存在互不相等的三个数，使它们同时满足三个条件：
①a+b+c=6；
②a、b、c成等差数列；
③将a、b、c适当排列后，能构成一个等比数列．

Answer 1

分析：假设满足题中三个条件的三个数存在，根据a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，再由a+b+c=6，求出b的值，设a，b，c成等差数列的公差为d，用d表示出a，b及c，得到三个数分别为2-d，2，2+d，根据三个数都可能为等比中项，分三种情况考虑：当2为等比中项时，利用等比数列的性质列出关于d的方程，求出方程的解得到d的值，确定出a，b，c三个数，经检验不合题意；当2-d为等比中项，同理求出d的值，确定出a，b及c；当d+2是等比中项，同理求出d的值，确定出a，b，c，综上，得到满足题意的a，b及c的值．

解答：解：假设存在这样的三个数，
∵a、b、c成等差数列，
∴2b=a+c，又a+b+c=6，
∴b=2，
设a=2-d，b=2，c=2+d，
①若2为等比中项，则2²=（2+d）（2-d），
∴d=0，则a=b=c，不符合题意；
②若2+d为等比中项，则（2+d）²=2（2-d），
解得d=0（舍去）或d=-6，
∴a=8，b=2，c=-4；
③若2-d为等比中项，则（2-d）²=2（2+d），
解得d=0（舍去）或d=6，
∴a=-4，b=2，c=8，
综上所述，存在这样的三个不相等数，同时满足3个条件，它们是8，2，-4或-4，2，8．

点评：此题考查了等差、等比数列的性质，熟练掌握等差、等比数列的性质是解本题的关键．