Question

（理）在空间直角坐标系O-xyz中，满足条件[x]²+[y]²+[z]²≤1的点（x，y，z）构成的空间区域Ω₂的体积为V₂（[x]，[y]，[z]分别表示不大于x，y，z的最大整数），则V₂=    ．

Answer 1

【答案】分析：根据方程，对于x，y≥0时，求出x，y的整数解，分别对|[x]|=1、0时确定x的范围，对应的y，z的范围，求出体积，再求其和．

建立空间直角坐标系O-xyz，是以（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（1，0，1），（0，1，0）为顶点体积为1的立方体向x轴正负方向、y轴正负方向、z轴正负方向各延伸一个体积为1的立方体，即由这7个立方体组成的图形，体积为7．
解答：解：满足条件[x]²+[y]²+[z]²≤1的点（x，y，z）x，y，z≥0时，[x]，[y]，[z]的整解有（0，0，0），（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0）（0，-1，0），（0，0，-1），（-1，0，0）
显然[x]的最大值是1
|[x]|=1时，1≤x＜2，或者-1≤x＜0，|[y]|=0，0≤y＜1，|[z]|=0，0≤z＜1，所围成的区域是棱长为1的正方体
同理可求|[x]|=0时，0≤x＜1，|[y]|=1或|[z]|=1的体积
V₂=7×1=7
故答案为：7
点评：本题主要考查的点的轨迹的求解，几何体的体积的求解，考查探究性问题，是创新题，考查分类讨论思想，是中档题．