Question

1．已知数列{a_n}满足a_n＞0，其前n项和为S_n满足2S_n=a_n²+a_n．则a_n=n．

Answer 1

分析 通过当n≥2时2a_n=2S_n-2S_n-1计算、整理可知a_n+a_n-1=（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1），通过a_n＞0可知a_n+a_n-1＞0，从而a_n-a_n-1=1，进而可知数列{a_n}是以首项、公差均为1的等差数列，计算即得结论．

解答 解：∵2S_n=a_n²+a_n，
∴当n≥2时，2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，
∴2a_n=2S_n-2S_n-1
=（a_n²+a_n）-（a_n-1²+a_n-1）
=${{a}_{n}}^{2}$-${{a}_{n-1}}^{2}$+a_n-a_n-1，
整理得：a_n+a_n-1=${{a}_{n}}^{2}$-a_n-1=（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1），
又∵a_n＞0，
∴a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=1，
又∵2S₁=a₁²+a₁，
∴a₁=1或a₁=0（舍），
∴数列{a_n}是以首项、公差均为1的等差数列，
∴a_n=n，
故答案为：n．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．