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    如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，|AB|=
    4
    		2
    3
    ，|CD|=2-
    4
    		2
    3
    ，AC⊥BD．M为CD的中点．
    （Ⅰ）求点M的轨迹方程；
    （Ⅱ）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数λ0，使
    MP
    =λ0
    PN
    ，且P点到A、B的距离和为定值，求点P的轨迹E的方程；
    （Ⅲ）过（0，
    1
    2
    ）的直线与轨迹E交于P、Q两点，求△OPQ面积的最大值．
    （Ⅰ）设点M的坐标为M（x，y）（x≠0），则 C（x，y-1+
    2
    		2
    3
    ），D（x，y+1-
    2
    		2
    3
    ）
    又A（0，
    2
    		2
    3
    ），B（0，-
    2
    		2
    3
    ），由AC⊥BD有
    AC
    •
    BD
    =0，即（x，y-1）•（x，y+1）=0，
    ∴x2+y2=1（x≠0）．（4分）
    （Ⅱ）设P（x，y），则M（（1+λ0）x，y），代入M的轨迹方程（1+λ0）2 x2+y2=1（x≠0）
    即
    x2
    (
    1
    1+λ0
    )2
    +y2=1    （x≠0），
    ∴P的轨迹为椭圆（除去长轴的两个端点）．
    要P到A、B的距离之和为定值，则以A、B为焦点，故1+
    1
    (1+λ0)2
    =(
    2
    		2
    3
    )2    ．
    ∴λ0=2，
    ∴所求P的轨迹方程为9x2+y2=1（x≠0）．…（9分）
    （Ⅲ）易知l的斜率存在，设方程为y=kx+
    1
    2
    ，代入椭圆方程可得（9+k2）x2+kx-
    3
    4
    =0
    设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=-
    k
    9+k2
    ，x1x2=-
    3
    4(9+k2)

    ∴|x1-x2|=
    		(x1+x2)2-4x1x2
    =
    4k2+27
    (9+k2)2
    ．
    令t=k2+9，则|x1-x2|=
    4t-9
    t2
    且t≥9．
    ∴S△OPQ=
    1
    2
    •
    1
    2
    |x1-x2|=
    1
    4
    		-9(
    1
    t
    -
    2
    9
    )2+
    4
    9
    ，
    ∵t≥9，
    ∴0
    1
    t
    ≤
    1
    9
    ，
    ∴当
    1
    t
    =
    1
    9
    ，即t=9也即k=0时，△OPQ面积取最大值，最大值为
    		3
    12
    ．…（12分）
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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    ，双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    两渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又设l与l2交于点P，l与C两交点自上而下依次为A、B；
    （1）当l1与l2夹角为
    π
    3
    ，双曲线焦距为4时，求椭圆C的方程及其离心率；
    （2）若
    FA
    =λ
    AP
    ，求λ的最小值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知抛物线C：y2=8x，O为坐标原点，动直线l：y=k（x+2）与抛物线C交于不同两点A，B
    （1）求证：
    OA
    •
    OB
    为常数；
    （2）求满足
    OM
    =
    OA
    +
    OB
    的点M的轨迹方程．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知曲线C：
    x2
    m+2
    +
    y2
    3-m
    =1    （m∈R）．
    （Ⅰ）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；
    （Ⅱ）设m=2，过点D（0，4）的直线l与曲线C交于M，N两点，O为坐标原点，若∠OMN为直角，求直线l的斜率．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知抛物线C：y2=12x，点M（-1，0），过M的直线l交抛物线C于A，B两点．
    （Ⅰ）若线段AB中点的横坐标等于2，求直线l的斜率；
    （Ⅱ）设点A关于x轴的对称点为A′，求证：直线A′B过定点．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆M：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    经过如下五个点中的三个点：P1(-1，-
    		2
    2
    )    ，P2（0，1），P3(
    1
    2
    ，
    		2
    2
    )    ，P4(1，
    		2
    2
    )    ，P5（1，1）．
    （Ⅰ）求椭圆M的方程；
    （Ⅱ）设点A为椭圆M的左顶点，B，C为椭圆M上不同于点A的两点，若原点在△ABC的外部，且△ABC为直角三角形，求△ABC面积的最大值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的两条互相垂直的直线与抛物线分别交于点A、B和C、D；抛物线上的点T（2，t）（t＞0）到焦点的距离为3．
    （1）求p、t的值；
    （2）当四边形ACBD的面积取得最小值时，求直线AB的斜率．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    （1）已知△ABC的顶点A（0，-1），B（0，1），直线AC，直线BC的斜率之积等于m（m0），求顶点C的轨迹方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线．
    （2）已知圆M的方程为：（x+1）2+y2=（2a）2（a＞0，且a1），定点N（1，0），动点P在圆M上运动，线段PN的垂直平分线与直线MP相交于点Q，求点Q轨迹方程．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图．已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直，椭圆的离心率e=
    		3
    2
    ，F1为椭圆的左焦点且
    AF1
    •
    F1B
    =1．
    （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
    （Ⅱ）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ．连接AQ并延长交直线l于点M，N为MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．

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