Question

（2013•虹口区二模）已知抛物线C：y²=2px（p＞0），直线l交此抛物线于不同的两个点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂））
（1）当直线l过点M（-p，0）时，证明y₁•y₂为定值；
（2）当y₁y₂=-p时，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
（3）记N（p，0），如果直线l过点M（-p，0），设线段AB的中点为P，线段PN的中点为Q．问是否存在一条直线和一个定点，使得点Q到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）易判断直线l有斜率且不为0，设l：y=k（x+p），代入抛物线方程消掉x得y的二次方程，由韦达定理即可证明；
（2）分情况讨论：①当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+b（k≠0），代入抛物线方程消掉x得y的二次方程，由韦达定理及y₁y₂=-p得b，k的关系式，假设直线l过定点（x₀，y₀），则y₀=kx₀+b，用k消掉b即可得到定点坐标；
②当直线l的斜率不存在，设l：x=x₀，代入抛物线方程易求y₁y₂，由已知可求得x₀，可判断此时直线也过该定点；
（3）易判断直线l存在斜率且不为0，由（1）及中点坐标公式可得y_P，代入直线l方程得x_P，设Q（x，y），由中点坐标公式可得点Q轨迹的参数方程，消掉参数k后即得其普通方程，由方程及抛物线定义可得准线、焦点即为所求；

解答：（1）证明：l过点M（-p，0）与抛物线有两个交点，可知其斜率一定存在，
设l：y=k（x+p），其中k≠0（若k=0时不合题意），
由

y=k(x+p) y2=2px

得k•y²-2py+2p²k=0，
∴y1•y2=2p2．
（2）①当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+b，其中k≠0（若k=0时不合题意）．
由

y=kx+b y2=2px

得ky²-2py+2pb=0．
∴y1y2=

2pb

k

=-p，从而b=-

k

2

．
假设直线l过定点（x₀，y₀），则y₀=kx₀+b，
从而y0=kx0-

k

2

，得(x0-

1

2

)k-y0=0，即

x0= 1 2 y0=0

，即过定点（

1

2

，0）．
②当直线l的斜率不存在，设l：x=x₀，代入y²=2px得y²=2px₀，y=±

2px0

，
∴y1y2=

2px0

•(-

2px0

)=-2px0=-p，
解得x0=

1

2

，即l：x=

1

2

，也过（

1

2

，0）．
综上所述，当y₁y₂=-p时，直线l过定点（

1

2

，0）．
（3）依题意直线l的斜率存在且不为零，
由（1）得点P的纵坐标为yP=

1

2

(y1+y2)=

p

k

，代入l：y=k（x+p）得xP=

p

k2

-p，即P（

p

k2

-p，

p

k

）．
设Q（x，y），则

x= 1 2 ( p k2 -p+p) y= 1 2 • p k

，消k得y2=

p

2

x，
由抛物线的定义知存在直线x=-

p

8

，点(

p

8

，0)，点Q到它们的距离相等．

点评：本题考查直线方程、抛物线方程及其位置关系，考查分类讨论思想，考查学生探究问题解决问题的能力，综合性较强，有难度．