A. | $({-∞,\frac{19}{6}})$ | B. | $({-∞,\frac{3}{2}})$ | C. | $({-∞,\frac{9}{4}})$ | D. | (-∞,3) |
分析 求导函数,问题转化为b<x+$\frac{1}{2x}$,设g(x)=x+$\frac{1}{2x}$,只需b<g(x)max,结合函数的单调性可得函数的最大值,故可求实数b的取值范围.
解答 解:∵f(x)=$\frac{{lnx+{{({x-b})}^2}}}{x}$(b∈R),x>0,
∴f′(x)=$\frac{1+2x(x-b)-lnx-(x-b)^{2}}{{x}^{2}}$,
∴f(x)+xf′(x)=$\frac{1+2x(x-b)}{x}$,
∵存在x∈[$\frac{1}{2}$,3],得f(x)>-x•f'(x),
∴1+2x(x-b)>0
∴b<x+$\frac{1}{2x}$,
设g(x)=x+$\frac{1}{2x}$,
∴b<g(x)max,
∴g′(x)=1-$\frac{1}{2{x}^{2}}$
g′(x)=0时,解得:x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
当g′(x)>0时,即$\frac{\sqrt{2}}{2}$<x≤3时,函数单调递增,
当g′(x)<0时,即$\frac{1}{2}$≤x<$\frac{\sqrt{2}}{2}$时,函数单调递减,
∴当x=3时,函数g(x)取最大值,最大值为g(3)=$\frac{19}{6}$,
∴b<$\frac{19}{6}$,
故选:A.
点评 本题考查导数知识的运用,考查存在性问题,考查函数的最值,属于中档题.
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A. | R | B. | (-∞,-3]∪[1,+∞) | C. | (-3,+∞) | D. | [1,+∞) |
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A. | 6π | B. | 2π | C. | $\frac{2π}{3}$ | D. | $\frac{π}{3}$ |
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