Question

数列{a_n}满足a₁=a，a₂=-a（a＞0），且{a_n}从第二项起是公差为6的等差数列，S_n是{a_n}的前n项和．
（1）当n≥2时，用a与n表示a_n与S_n；
（2）若在S₆与S₇两项中至少有一项是S_n的最小值，试求a的取值范围；
（3）若a为正整数，在（2）的条件下，设S_n取S₆为最小值的概率是p₁，S_n取S₇为最小值的概率是p₂，比较p₁与p₂的大小．

Answer 1

分析：（1）因为数列是等差数列，所以由通项公式和前n项和公式求解．
（2）由 （1）知：{a_n}是等差数列，且公差为6，所以数列递增，如果S₆是S_n的最小值，则有

a6≤0 a7≥0

，若S₇是S_n的最小值，则有

a7≤0 a8≥0

两种情况最后取并集．
（3）由“a是正整数”，则本题是一个古典概型，由（2）知，a的所以取值为：24，25，26，…，36．当S₆是S_n最小值时，a的取值为：24，25，26，27，28，29，30，当S₇是S_n最小值时，a的取值为：30，31，32，33，34，35，36，由概率公式求得p₁，p₂再比较．

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解答：解：（1）由已知，当n≥2时，a_n=-a+6（n-2），
即a_n=6n-（a+12）．
∴S_n=a₁+a₂+a₃++a_n=a+（n-1）（-a）+

(n-1)(n-2)

2

•6=3n²-（a+9）n+2a+6．
（2）由已知，当n≥2时，{a_n}是等差数列，公差为6，数列递增．
若S₆是S_n的最小值，则

a6≤0 a7≥0

即

24-a≤0 30-a≥0

∴24≤a≤30．
若S₇是S_n的最小值，则

a7≤0 a8≥0

即

30-a≤0 36-a≥0

∴30≤a≤36．
∴当S₆与S₇两项中至少有一项是S_n的最小值时，a的取值范围是[24，36]．
（3）∵a是正整数，由（2）知，a=24，25，26，，36．
当S₆是S_n最小值时，a=24，25，26，27，28，29，30
当S₇是S_n最小值时，a=30，31，32，33，34，35，36
∴p₁=p₂=

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点评：本题主要考查等差数列的通项及前n项和公式以及用通项法研究前n和最值问题，同时，还渗透了概率问题，综合性较强，转化比较灵活，要求比较高．