Question

若函数f(x)=ax3+blog2(x+

x2+1

)+2在（-∞，0）上有最小值-5，（a，b为常数），则函数f（x）在（0，+∞）上
（　　）

A．有最大值5

B．有最小值5

C．有最大值3

D．有最大值9

Answer 1

分析：先令g（x）=ax³+blog₂（x+

x2+1

），判断其奇偶性，再由函数f(x)=ax3+blog2(x+

x2+1

)+2在（-∞，0）上有最小值-5，得到函数g（x）在（-∞，0）上有最小值-7，从而有g（x）在（0，+∞）上有最大值7，则由f（x）=g（x）+2得到结论．

解答：解：令g（x）=ax³+blog₂（x+

x2+1

），
其定义域为R，
又g（-x）=a（-x）³+blog₂（-x+

(-x)2+1

）
=-[ax³+blog₂（x+

x2+1

）]=-g（x）
所以g（x）是奇函数．
由根据题意：f(x)=ax3+blog2(x+

x2+1

)+2在（-∞，0）上有最小值-5，
所以函数g（x）在（-∞，0）上有最小值-7，
由函数g（x）在（0，+∞）上有最大值7，
所以f（x）=g（x）+2在（0，+∞）上有最大值9．
故选D．

点评：本题主要考查函数的构造进而研究性质，若看到x与-x这样的信息，一般与函数的奇偶性有关．