Question

设函数f（x）=e^x+sinx，g（x）=ax，F（x）=f（x）-g（x）．
（Ⅰ）若x=0是F（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）当 a=1时，设P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，g（x₂））（x₁＞0，x₂＞0），且PQ∥x轴，求P、Q两点间的最短距离；
（Ⅲ）若x≥0时，函数y=F（x）的图象恒在y=F（-x）的图象上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）、根据题意先求出函数F（x）的函数表达式，再求出其导函数F′（x），令F′（0）=0便可求出a的值；
（Ⅱ）、根据题意可知（x₁）=g（x₂），令h（x）=x₂-x₁=e^x+sinx-x，求出其导函数，进而求得h（x）的最小值即为P、Q两点间的最短距离；
（Ⅲ）、令φ（x）=F（x）-F（-x），求出其导函数，便可求出φ（x）的单调性，进而可求得a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）F（x）=e^x+sinx-ax，F′（x）=e^x+cosx-a．
因为x=0是F（x）的极值点，所以F′（0）=1+1-a=0，a=2．（2分）
又当a=2时，若x＜0，F'（x）=e^x+cosx-a＜0；若x＞0，F'（x）=e^x+cosx-a＞0．
∴x=0是F（x）的极小值点，
∴a=2符合题意．（4分）
（Ⅱ）∵a=1，且PQ∥x轴，由f（x₁）=g（x₂）得：x2=ex1+sinx1，
所以x2-x1=ex1+sinx1-x1．
令h（x）=e^x+sinx-x，h′（x）=e^x+cosx-1＞0，当x＞0时恒成立．
∴x∈[0，+∞）时，h（x）的最小值为h（0）=1．
∴|PQ|_min=1．（9分）
（Ⅲ）令φ（x）=F（x）-F（-x）=e^x-e^-x+2sinx-2ax．
则φ′（x）=e^x+e^-x+2cosx-2a．S（x）=φ′′（x）=e^x-e^-x-2sinx．
因为S′（x）=e^x+e^-x-2cosx≥0当x≥0时恒成立，（11分）
所以函数S（x）在[0，+∞）上单调递增，（12分）
∴S（x）≥S（0）=0当x∈[0，+∞）时恒成立；
因此函数φ′（x）在[0，+∞）上单调递增，φ′（x）≥φ′（0）=4-2a当x∈[0，+∞）时恒成立．
当a≤2时，φ′（x）≥0，φ（x）在[0，+∞）单调递增，即φ（x）≥φ（0）=0．
故a≤2时F（x）≥F（-x）恒成立．（13分）

点评：本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，是各地高考的热点和难点，属于中档题，同学们要加强训练．