解:(Ⅰ)当a=0时,f(x)=-x+lnx,
f(1)=-1+ln1=-1,
,f'(1)=0.
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程y=-1.
(Ⅱ)
,
①当a=0时,解
,得0<x<1,解
,得x>1,
所以函数f(x)的递增区间为(0,1),递减区间为在(1,+∞);
②a≠0时,令f'(x)=0得x=1或
,
i)当0<a<1时,
,当x变化时f(x)、f′(x)随x的变化情况如下表:
x | (0,1)) | 1 | | | |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | 增 | | 减 | | 增 |
函数f(x)的递增区间为(0,1),
,递减区间为
;
ii)当a<0时,
,
在(0,1)上f'(x)>0,在(1,+∞)上f'(x)<0,
所以函数f(x)的递增区间为(0,1),递减区间为(1,+∞);
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当
时,f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数,
所以
,
存在x∈[1,2],使
,即存在x∈[1,2],使
,
只需函数g(x)在[1,2]上的最大值大于等于
,
所以有
,即
,解得:
,
所以b的取值范围是
.
分析:(Ⅰ)当a=0时求出f(x),f′(x),f(1),切线斜率k=f′(1),利用点斜式即可求得切线方程;
(Ⅱ)求出导数f′(x),分情况讨论:①a=0时,解不等式f′(x)>0,f′(x)<0即得f(x)的单调区间;②a≠0时,解方程f′(x)=0得x=1或x=
,按照1与
的大小讨论,根据f′(x)的符号即可求得其单调区间;
(Ⅲ)当
时,借助(Ⅱ)问单调性易求得M,存在x∈[1,2],使
,等价于
,由二次函数的性质可得不等式组,解出即可;
点评:本题考查利用导数研究函数的单调性、某点处切线方程、在闭区间上的最值等知识,考查分类讨论思想,考查学生分析解决问题的能力,把存在性问题转化为最值问题是解决(Ⅲ)问的关键.