Question

设函数，其中为常数．
（1）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（2）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；
（3）求证对任意不小于3的正整数，不等式都成立．

Answer 1

（1）函数在定义域上单调递增．
（2）当且仅当时有极值点；当时，有唯一最小值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点    
（3）证明见解析。

（1）由题意知，的定义域为，
     …… 1分
当时，，函数在定义域上单调递增．   …… 2分
（2）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．
………3分
②当时，有两个不同解，
时，，
此时，随在定义域上的变化情况如下表：

	减	极小值	增

由此表可知：时，有唯一极小值点，   …… 5分
ii)  当时，0＜＜1 此时，，随的变化情况如下表：

	增	极大值	减	极小值	增

由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；综上所述：当且仅当时有极值点；当时，有唯一最小值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点       …… 8分
（3）由(2)可知当时，函数，
此时有唯一极小值点
且          …… 9分
                 
…… 11分
令函数 …… 12分
    …… 14分