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    已知函数f（x）=1+ln
    x
    2-x
    （0＜x＜2）．
    （1）是否存在点M（a，b），使得函数y=f（x）的图象上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数y=f（x）的图象上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
    （2）定义Sn=
    2n-1
    i=1
    f(
    i
    n
    )=f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+    f(
    2n-1
    n
    )    ，其中n∈N*，求S2013；
    （3）在（2）的条件下，令Sn+1=2an，若不等式2an•(an)m＞1对?n∈N*且n≥2恒成立，求实数m的取值范围．
    分析：（1）根据函数图象关于点对称的公式，设存在满足条件的点M（a，b），则f（x）+f（2a-x）=2b，代入解析式化简整理，即可解出a=b=1；
    （2）由（1）得f（x）+f（2-x）=2，将x=
    i
    n
    （i=1，2，…，2n-1）代入函数式，并采用倒序相加的方法算出2Sn=2（2n-1），化简得Sn=2n-1，从而算出S2013=2×2013-1=4025．
    （3）由（2）中Sn=2n-1，结合题意算出an=n．原不等式等价于2n •nm＞1，两边取以e为底的对数，整理得
    n
    lnn
    ＞-
    m
    ln2
    恒成立，可得(
    n
    lnn
    )min＞-
    m
    ln2
    ．然后设g（x）=
    x
    lnx
    （x＞0），利用导数研究出函数g（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）上为增函数．结合g（2）＞g（3）得到g（x）的最小值为g（3）=
    3
    ln3
    ，由此可得
    3
    ln3
    ＞-
    m
    ln2
    ，解之即可得到实数m的取值范围．
    解答：解：（1）假设存在点M（a，b），使得函数y=f（x）的图象上任意一点P关于点M对称的点Q
    也在函数y=f（x）的图象上，则函数y=f（x）图象的对称中心为M（a，b）．
    由f（x）+f（2a-x）=2b，得1+ln
    x
    2-x
    +1+ln
    2a-x
    2-2a+x
    =2b，
    即2-2b+ln
    -x2+2ax
    -x2+2ax+4-4a
    =0对任意0＜x＜2恒成立，所以
    2-2b=0
    4-4a=0
    ，解得a=b=1；
    ∴存在点M（1，1），使得函数y=f（x）的图象上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数y=f（x）的图象上；（2）由（1）得f（x）+f（2-x）=2．
    令x=
    i
    n
    ，则f（
    i
    n
    ）+f（2-
    i
    n
    ）=2（i=1，2，…，2n-1）．
    ∵Sn=f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+    f(
    2n-1
    n
    )    …①，
    ∴Sn=f(
    2n-1
    n
    )+f(
    2n-2
    n
    )+…+f(
    2
    n
    )+f(
    1
    n
    )    ②，
    由①+②得2Sn=2（2n-1），可得Sn=2n-1．（n∈N*）
    所以S2013=2×2013-1=4025．
    （3）由（2）得Sn=2an-1=2n-1，所以an=n．
    ∵当n∈N*且n≥2时，2an•(an)m＞1等价于2n •nm＞1，即
    n
    lnn
    ＞-
    m
    ln2
    ．
    所以当n∈N*且n≥2时，不等式
    n
    lnn
    ＞-
    m
    ln2
    恒成立，即(
    n
    lnn
    )min＞-
    m
    ln2
    ．
    设g（x）=
    x
    lnx
    （x＞0），则g'（x）=
    lnx-1
    (lnx)2
    ．
    当0＜x＜e时，g'（x）＜0且当x＞e时，g'（x）＞0
    ∴函数g（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）上为增函数．
    因为e∈（2，3），且g（2）=
    2
    ln2
    ＞g（3）=
    3
    ln3
    ，
    所以当n∈N*且n≥2时，g（x）的最小值为g（3）=
    3
    ln3
    ，
    即(
    n
    lnn
    )    min    =
    3
    ln3
    ＞-
    m
    ln2
    ，解之得m＞-
    3ln2
    ln3
    ．
    所以实数m的取值范围是（-
    3ln2
    ln3
    ，+∞）．
    点评：本题着重考查了等差数列的通项公式与求和公式、函数图象的对称中心研究、利用导数研究函数的单调性与最值和不等式恒成立的讨论等知识点，属于难题．
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    1
    |x|
    ，g（x）=1+
    x+|x|
    2
    ，若f（x）＞g（x），则实数x的取值范围是（　　）
    A、（-∞，-1）∪（0，1）
    B、(-∞，-1)∪(0，
    -1+
    		5
    2
    )
    C、(-1，0)∪(
    -1+
    		5
    2
    ，+∞)
    D、(-1，0)∪(0，
    -1+
    		5
    2
    )

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    1-x
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    1
    2
    ，2    ]上的最大值和最小值；
    （3）当a=1时，求证对任意大于1的正整数n，lnn＞
    1
    2
    +
    1
    3
    +
    1
    4
    +    …+
    1
    n
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