Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，其中AB=

2

2

，DC=

2

，AD=1，AD⊥AB，顶点P在底面ABCD的射影落在线段AC上，F是PC的中点．
（Ⅰ）求证：BF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PDB；
（Ⅲ）若PA=PC=1，求三棱锥P-DBF的体积．

Answer 1

分析：（I）取PD中点E，连结EA、EF，∵E、F分别是PD、PC的中点，可证四边形EFBA是平行四边形，AE∥BF，由线面平行的判定定理可证EF∥平面PAD；
（II）顶点P在底面ABCD的射影落在线段AC上，设为H，则PH⊥面ABCD，可得PH⊥BD，再证BD⊥面PAC，由面面垂直的判定定理证明平面PBD⊥平面PAC；
（III）由PA=PC=1，得H为AC的中点，根据V_P-DBF=

1

2

V_P-BCD，求出底面△BCD的面积和高AH，代入公式计算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）证明：取PD中点E，连结EA、EF，
∵E、F分别是PD、PC的中点，

∴EF∥DC，又DC∥AB，且EF=

1

2

DC=AB，
∴EF∥AB，且EF=AB
∴四边形EFBA是平行四边形，∴AE∥BF，
又∵AE?面PAD，BF?面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（II）证明：顶点P在底面ABCD的射影落在线段AC上，设为H，则PH⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，∴PH⊥BD，
∵Rt△ABD中，

AB

AD

=

2

2

，Rt△DAC中，

AD

DC

=

1

2

=

2

2

，
∴Rt△ABD∽Rt△DAC，
∴∠DAC=∠ABD，故∠ABD+∠CAB=90°即AC⊥BD，
又∵PH∩AC=H，PH、AC?平面PAC，∴BD⊥平面PAC，
BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC；
（ III）∵PA=PC=1，
∴顶点P在底面ABCD的射影H落在线段AC的中点上，且，AC=

1+2

=

3

，
∴S_△BCD=S_△ACD=

1

2

×1×

2

，AH=

1-( 3 2 )2

=

1

2

，
∵F分别是PC的中点，∵F到面PDB的距离是C到面PDB的距离的

1

2

，
VP-DBF=

1

2

VC-PDB=

1

2

VP-DBC=

1

2

×

1

3

×(

1

2

×

2

×1)×

1

2

=

2

24

．

点评：本题考查了线面平行的判定，考查了面面垂直的判定，考查了学生的空间想象能力与推理运算能力，体现了转化思想．