Question

14．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（1）求A₁B与平面A₁B₁CD所成角的大小；
（2）求二面角B₁-A₁C₁-B的平面角的正切值．

Answer 1

分析 （1）说明BC₁⊥平面A₁B₁CD，O为垂足，所以A₁O为斜线A₁B在平面A₁B₁CD内的射影，∠BA₁O为A₁B与平面A₁B₁CD所成的角．在RtBA₁O中易求角∠BA₁O．
（2）作出二面角的平面角，通过求解三角形的角，即可求出答案．

解答 解：（1）连结BC₁，B₁C，交点为O，连A₁O，由题意四边形BCC₁B₁是正方形，∴BC₁⊥B₁C，∵A₁B₁⊥B₁C₁，A₁B₁⊥B₁B，B₁C₁∩B₁B=B₁∴A₁B₁⊥平面BCC₁B₁
BC₁?平面BCC₁B₁
∴A₁B₁⊥BC₁．
又∵B₁C∩A₁B₁=B₁，B₁C?平面A₁B₁CD，A₁B₁?平面A₁B₁CD，
∴BC₁⊥平面A₁B₁CD．O为垂足，所以A₁O为斜线A₁B在平面A₁B₁CD内的射影，∠BA₁O为A₁B与平面A₁B₁CD所成的角．设正方体的棱长为：2．
在Rt△A₁BO中，A₁B=2$\sqrt{2}$，BO=$\sqrt{2}$，
所以∴sin∠BA₁O=$\frac{BO}{{A}_{1}B}$=$\frac{1}{2}$∴∠BA₁O=30°．
因此，直线A₁B与平面A₁B₁CD所成的角为30°．
（2）作B₁E⊥A₁C₁于E，连结BE，
因为几何体是正方体，所以A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，易知平面C₁B⊥平面A₁B₁O，
可得∠BEB₁是二面角B₁-C₁A₁-B的平面角，设正方体的列出为：2，则B₁E=$\sqrt{2}$，
∴tan∠BEB₁=$\frac{{BB}_{1}}{{B}_{1}E}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，线面角的求解的关键是作出与已知平面垂直的直线，进而找到线面角，在直角三角形中求出所求的角．