Question

如图一，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2。将△ABD沿边AB折起， 使得△ABD与△ABC成30^o的二面角,如图二，在二面角中.

(1) 求D、C之间的距离；
(2) 求CD与面ABC所成的角的大小;
(3) 求证：对于AD上任意点H，CH不与面ABD垂直。

Answer 1

(1)|CD|==；
(2) =； (3) CH不与面ABD垂直。

试题分析：依题意，ABD=90^o，建立如图的坐标系使得△ABC在yoz平面上，△ABD与△ABC成30^o的二面角, DBY=30^o，又AB=BD=2，  A(0，0，2)，B(0，0，0)，
C(0，，1)，D(1，，0)，
    (1)|CD|==……… 5分
(2)x轴与面ABC垂直，故(1，0，0)是面ABC的一个法向量。
设CD与面ABC成的角为，而= (1，0，-1)，
sin==
[0，]，=； 8分
(3) 设=t= t(1，，-2)= (t，t，-2 t)，
=+=(0，-,1) +(t，t，-2 t) = (t，t-，-2 t+1)，
若，则 (t，t-，-2 t+1)·(0，0，2)="0" 得t=，   10分
此时=(，-，0)，
而=(1，，0)，·=-=-10, 和不垂直，
即CH不可能同时垂直BD和BA，即CH不与面ABD垂直。 12分
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程。本题利用空间向量，简化了证明过程，但对计算能力要求较高。