Question

在平面直角坐标系xoy中，曲线C：

1

4

x2+x+y2-2y=-1，按伸缩变换?：

x′=x+2 y′=y-1

得曲线C₁；在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂是圆心在极轴上，且经过极点的圆，已知射线θ=

π

3

与曲线C₂交于点D(1，

π

3

)．
（I）求曲线C₁，C₂的方程；
（II）若点A（ρ₁，θ），B(ρ2，θ+

π

2

)在曲线C₁上，求

1

ρ12

+

1

ρ22

的值．

Answer 1

分析：（I）把伸缩变换的式子用x^′，y^′表示x，y，再代入原方程即可求出曲线C₁的方程．把点D的极坐标化为直角坐标代入圆C₂的方程为（x-R）²+y²=R² ，求得R=1，即可得到曲线C₂的方程．
（2）把A、B两点的极坐标，代入曲线C₁的极坐标方程可得：：

ρ12cos2θ

4

+ρ12sin2θ=1，

ρ22sin2θ

4

+ρ22cos2θ=1，从而求出

1

ρ12

+

1

ρ22

的值的值．

解答：解：（1）曲线C：

1

4

x2+x+y2-2y=-1，按伸缩变换?：

x′=x+2 y′=y-1

得曲线C₁：

1

4

(x′-2)2+x′-2+(y′+1)2-2(y′+1)=-1，即

x2

4

+y2=1．
设圆C₂的半径R，则圆C₂的方程为：ρ=2Rcosθ（或（x-R）²+y²=R²），将点D(1，

π

3

)，
代入得：1=2Rcos

π

3

，∴R=1
∴圆C₂的方程为：ρ=2cosθ（或（x-1）²+y²=1）…（5分）
（2）曲线C₁的极坐标方程为：

ρ2cos2θ

4

+ρ2sin2θ=1
∵点A（ρ₁，θ），B(ρ2，θ+

π

2

)在曲线C₁上，
将点A（ρ₁，θ），B(ρ2，θ+

π

2

)代入得：

ρ12cos2θ

4

+ρ12sin2θ=1，

ρ22sin2θ

4

+ρ22cos2θ=1
∴

1

ρ12

+

1

ρ22

=（

cos2θ

4

+sin2θ ）+（

sin2θ

4

+cos2θ）=

5

4

…（10分）．

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．