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    【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

    已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数， ）.

    （Ⅰ）把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线的形状；

    （Ⅱ）若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长.

    【答案】（1）详见解析；（2）

    【解析】试题分析：（1）对曲线的极坐标方程两边乘以，可化得其直角坐标方程为，这是顶点在原点，焦点为的抛物线；（2）根据直线参数方程的定义可知，直线过点，依题意直线又过点，由此求得直线方程为，倾斜角为，故直线的参数方程为，代入抛物线的直角坐标方程，写出韦达定理，利用求得弦长为.

    试题解析：（1）曲线的直角坐标方程为，故曲线是顶点为，焦点为的抛物线.

    （2）直线的参数方程为（为参数， ），故经过点，若直线经过点，则.

    ∴直线的参数方程为（为参数）

    代入，得，

    设对应的参数分别为，则， ，

    ∴.

    练习册系列答案
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    （2）在（1）的条件下，求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角.

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    时间

    星期一

    星期二

    星期三

    星期四

    星期五

    星期六

    星期七

    车流量（万辆）

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    的浓度（微克/立方米）

    28

    30

    35

    41

    49

    56

    62

    （1）由散点图知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；

    的浓度；

    （ii）规定：当一天内的浓度平均值在内，空气质量等级为优；当一天内的浓度平均值在内，空气质量等级为良，为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量在多少万辆以内？（结果以万辆为单位，保留整数）

    参考公式：回归直线的方程是，其中， .

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    （1）如果 = + ， =2 +8 ， =3 ﹣3 ，求证：A、B、D三点共线；
    （2）若| |=2，| |=3， 与 的夹角为60°，是否存在实数m，使得m + 与 ﹣ 垂直？并说明理由．

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    （1）求sin2α和tan2α的值；
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