【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)若对任意的,都有成立,求a的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)当时增区间为当时增区间为,减区间为(Ⅲ)
【解析】
试题(Ⅰ)利用导数的几何意义得到切线的斜率,进而得到切线方程(Ⅱ)首先计算函数的导数,令导数大于零可得增区间,进而得到减区间,求解时注意对参数的取值范围分情况讨论(Ⅲ)不等式恒成立问题中求参数范围的一般采用分离参数的方法,转化为求函数的最值问题
试题解析:(Ⅰ)时,
曲线在点处的切线方程
(Ⅱ)
①当时,恒成立,函数的递增区间为
②当时,令,解得或
x | ( 0,) | (,1) | |
f’(x) | - | + | |
f(x) | 减 | 增 |
所以函数的递增区间为,递减区间为
(Ⅲ)对任意的,使成立,只需任意的,
①当时,在上是增函数,
所以只需
而
所以满足题意;
②当时,,在上是增函数,
所以只需
而
所以满足题意;
③当时,,在上是减函数,上是增函数,
所以只需即可
而
从而不满足题意;
综合①②③实数的取值范围为.
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【题目】某校从学生文艺部6名成员(4男2女)中,挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.
(1)求男生甲被选中的概率;
(2)在已知男生甲被选中的条件下,女生乙被选中的概率;
(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下,求女生乙被选中的概率.
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【题目】在直角梯形中,,,,,,为线段(含端点)上的一个动点.设,,对于函数,下列描述正确的是( )
A.的最大值和无关B.的最小值和无关
C.的值域和无关D.在其定义域上的单调性和无关
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【题目】数学的对称美在中国传统文化中多有体现,譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分展现了相互转化、对称统一的和谐美.如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”,下列说法正确的是( )
A.对于任意一个圆,其“优美函数”有无数个
B.可以是某个圆的“优美函数”
C.正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”
D.函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形
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【题目】已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F.过F的直线与抛物线C交于A、B,与抛物线C的准线交于M.
(1)若|AF|=|FM|=4,求常数p的值;
(2)设抛物线C在点A、B处的切线相交于N,求动点N的轨迹方程.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点是,左右顶点是,离心率是,过的直线与椭圆交于两点P、Q(不是左、右顶点),且的周长是,
直线与交于点M.
(1)求椭圆的方程;
(2)(ⅰ)求证直线与交点M在一条定直线l上;
(ⅱ)N是定直线l上的一点,且PN平行于x轴,证明:是定值.
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【题目】一组数据中的每一个数据都乘以2,再减去80,得到一组新数据,若求得新的数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是( )
A.40.6,1.1B.48.8,4.4C.81.2,44.4D.78.8,75.6
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