Question

（本题满分13分）某工厂有214名工人, 现要生产1500件产品, 每件产品由3个A型零件与1个B型零件配套组成, 每个工人加工5个A型零件与3个B型零件所需时间相同. 现将全部工人分为两组, 分别加工一种零件, 同时开始加工. 设加工A型零件的工人有x人, 在单位时间内每人加工A型零件5k个(k∈N*), 加工完A型零件所需时间为g(x), 加工完B型零件所需时间为h (x).
 (Ⅰ) 试比较与大小, 并写出完成总任务的时间的表达式；
(Ⅱ) 怎样分组才能使完成任务所需时间最少?

Answer 1

(Ⅰ)  
(Ⅱ)加工A型零件137人, 加工B型零件77人, 完成任务所需时间最少. 

解析试题分析：
(Ⅰ) 由题意知, A型零件共需要4500个, B型零件共需要1500个,
加工B型零件的工人有214－x人, 单位时间内每人加工B型零件3k个,
所以 
所以                                ……3分
  0＜x＜214,且x∈N*.
∴ 当1≤x≤137(x∈N*)时, g(x)＞h(x);
138≤x≤213(x∈N*)时, g(x)＜h(x).
∴     （ 其中x∈N*).                              ……7分
(Ⅱ) 即求当x为何值时,  f(x)最小.
又为减函数, 为增函数,
而＜1,则x=137时f(x)最小,
即加工A型零件137人, 加工B型零件77人, 完成任务所需时间最少.                       ……13分
考点：本小题主要考查分段函数在实际问题中的应用.
点评：用函数解决实际问题时，首先要看清题目，准确地将实际问题转化为合适的数学模型，进而用数学知识解决问题，但是解决实际问题时一定要注意实际问题的定义域.