Question

已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，2AB＝2AD＝CD，侧面PAD是正三角形且垂直于底面ABCD，E是PC上一点．

(1)点E是PC中点时，求证：BE⊥平面PCD；

(2)在(1)的条件下，求二面角C－BD－E的大小；

(3)当E是PC中点时，在PB上是否存在一点F，使AF∥平面BDE.若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：取PD中点G，连EG、AG，则∵△PAD是正三角形，∴AG⊥PD，又易知 　　CD⊥平面PAD，∴AG⊥CD， 　　∴AG⊥平面PCD. 　　又∵EG∥CD∥AB，且EG=， 　　∴BE∥AG，从而BE⊥平面PCD. 　　(2) 　　解：取AD中点H，连结PH、HC， 　　取HC中点N，过N作MN⊥BD于点M，连ME. 　　由条件易得：PH⊥平面ABCD，又N、E分别是HC和PC的中点，∴EN⊥平面ABCD，则由三垂线定理得：EM⊥BD，故∠EMN就是所求二面角的平面角.设AB=AD=a，则 　　， 　　， 　　∴在Rt△EMN中， 　　，∴所求二面角的大小为 　　(3)存在PB中点F，使AF∥平面BDE. 　　证明：连结AC交BD于点Q，取PE中点R，连结FR， 　　∵AQ：QC=AB：CD=1：2，RE：EC=1：2， 　　∴AR∥QE，∴AR∥平面BDE，又RF∥BE， 　　∴RF∥平面BDE．∴平面AEF∥平面BDE