Question

【题目】记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6．（12分）
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn ， 并判断Sn+1 ， Sn ， Sn+2是否能成等差数列．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设等比数列{an}首项为a1，公比为q，

则a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，则a1= = ，a2= = ，

由a1+a2=2， + =2，整理得：q2+4q+4=0，解得：q=﹣2，

则a1=﹣2，an=（﹣2）（﹣2）n﹣1=（﹣2）n，

∴{an}的通项公式an=（﹣2）n；

（2）

由（1）可知：Sn= = =﹣ （2+（﹣2）n+1），

则Sn+1=﹣ （2+（﹣2）n+2），Sn+2=﹣ （2+（﹣2）n+3），

由Sn+1+Sn+2=﹣ （2+（﹣2）n+2）﹣ （2+（﹣2）n+3）=﹣ [4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2×+（﹣2）n+1]，

=﹣ [4+2（﹣2）n+1]=2×[﹣ （2+（﹣2）n+1）]，

=2Sn，

即Sn+1+Sn+2=2Sn，

∴Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列．

【解析】（1.）由题意可知a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，a1= = ，a2= = ，由a1+a2=2，列方程即可求得q及a1 ， 根据等比数列通项公式，即可求得{an}的通项公式；
（2.）由（1）可知．利用等比数列前n项和公式，即可求得Sn ， 分别求得Sn+1 ， Sn+2 ， 显然Sn+1+Sn+2=2Sn ， 则Sn+1 ， Sn ， Sn+2成等差数列．
【考点精析】本题主要考查了等比数列的通项公式（及其变式）和等比数列的前n项和公式的相关知识点，需要掌握通项公式：；前项和公式：才能正确解答此题．