若函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{lg.|x|＞1}\\{asin.|x|≤1}\end{array}\right.$．关于x的方程f2+a=0.给出下列结论.其中正确的有①②③(填出所有正确结论的序号)①存在这样的实数a.使得方程有3个不同的实根,②不存在这样的实数a.使得方程有4个不同的实根,③存在这样的实数a.使得方� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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10．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lg（|x|-1），|x|＞1}\\{asin（\frac{π}{2}x），|x|≤1}\end{array}\right.$．关于x的方程f²（x）-（a+1）f（x）+a=0，给出下列结论，其中正确的有①②③（填出所有正确结论的序号）
①存在这样的实数a，使得方程有3个不同的实根；
②不存在这样的实数a，使得方程有4个不同的实根；
③存在这样的实数a，使得方程有5个不同的实根；
④不存在这样的实数a，使得方程有6个不同的实根．

分析由f²（x）-（a+1）f（x）+a=0可解得f（x）=1或f（x）=a，作函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{lg（{|x|-1}），|x|＞1}\\{asin（{\frac{π}{2}x}），|x|≤1}\end{array}}\right.$的图象，从而讨论求解．

解答解：∵f²（x）-（a+1）f（x）+a=0，
∴f（x）=1或f（x）=a，
作函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{lg（{|x|-1}），|x|＞1}\\{asin（{\frac{π}{2}x}），|x|≤1}\end{array}}\right.$的图象如下，
，
当a=1时，方程有3个不同的实根，故①正确；
当a＞1或a≤-1时，方程有6个不同的实根，故④不正确；
当-1＜a＜1时，方程有5个不同的实根，故③正确；
综上可知，
不存在这样的实数a，使得方程由4个不同的实根；故②正确；
故答案为：①②③

点评本题主要考查函数与方程的应用，利用分段函数作出函数的图象，利用数形结合以及分类讨论是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．

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