【题目】如图所示,四边形AMNC为等腰梯形,△ABC为直角三角形,平面AMNC与平面ABC垂直,AB=BC,AM=CN,点O、D、E分别是AC、MN、AB的中点.过点E作平行于平面AMNC的截面分别交BD、BC于点F、G,H是FG的中点.
(Ⅰ)证明:OB⊥EH;
(Ⅱ)若直线BH与平面EFG所成的角的正弦值为 ,求二面角D﹣AC﹣H的余弦值.
【答案】解:(Ⅰ)证明:因为点O、D分别是等腰梯形AMNC两底AC、MN的中点,所以OD⊥OC.又AB=BC,
则OB⊥AC.于是等腰梯形AMNC与直角△ABC所成二面角的平面角为∠BOC,则∠BOC= .即OB⊥OD,得OB⊥平面AMNC.
又平面AMNC∥平面EFG,则OB⊥平面EFG.
因为EG平面EFG,所以OB⊥EH.
(Ⅱ)以O为原点,分别以 为x轴、y轴、z轴
的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.
设OA=a,OB=b,则O(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),D(0,0,b),C(﹣a,0,0).
所以E( ,F(0, ),G(﹣ ,H(﹣ ),有 ,平面EFG的一个法向量为 .
设直线BH与平面EFG所成的角为α,则sinα=|cos< |= ,得a=b.
设平面HAC的法向量为 ,由 ,取y=1,得 ,
所以cos< >= ,
因为二面角D﹣AC﹣H为锐二面角,所以二面角D﹣AC﹣H的余弦值为 .
【解析】(Ⅰ)由题意知等腰梯形AMNC与直角△ABC所成二面角的平面角为∠BOC,则∠BOC= . 得OB⊥平面AMNC.又平面AMNC∥平面EFG,则OB⊥平面EFG即可.(Ⅱ)以O为原点,分别以 为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.
设OA=a,OB=b,则O(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),D(0,0,b),C(﹣a,0,0).利用向量法求解.
【考点精析】认真审题,首先需要了解空间中直线与直线之间的位置关系(相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点).
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【题目】已知椭圆的中心在原点,离心率为,右焦点到直线的距离为2.
(1)求椭圆的方程;
(2)椭圆下顶点为,直线()与椭圆相交于不同的两点,当时,求的取值范围.
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【题目】函数f(x)在R上的导函数为f'(x),对于任意的实数x,都有f'(x)+2017<4034x,若f(t+1)<f(﹣t)+4034t+2017,则实数t的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学,已知在这段时间内,共有2班公交车到达该站,到站的时间分别为7:05,7:15,如果他们约定见车就搭乘,则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为( )
A. B. C. D.
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【题目】甲、乙两人的各科成绩如图中的茎叶图所示,则下列说法不正确的是( )
A. 甲、乙两人的各科平均分相同
B. 甲各科成绩的中位数是83,乙各科成绩的中位数是85
C. 甲各科成绩比乙各科成绩稳定
D. 甲各科成绩的众数是89,乙各科成绩的众数为87
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【题目】如图,已知点分别是的边的中点,连接,现将沿折叠至的位置,连接.记平面与平面的交线为,二面角大小为.
(1)证明: 平面;
(2)证明:平面平面;
(3)求平面与平面所成锐二面角大小.
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【题目】给出下列命题:
①若 , 是第一象限角且 ,则 ;
②函数 在上是减函数;
③ 是函数 的一条对称轴;
④函数 的图象关于点 成中心对称;
⑤设 ,则函数 的最小值是,其中正确命题的序号为 __________.
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