Question

17．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的点A，C关于y轴对称，点A，B关于原点对称．
（1）若椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且A（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{1}{2}$），求椭圆的标准方程；
（2）设D为直线BC与x轴的交点，E为椭圆上一点，且A，D，E三点共线，若直线AB，BE的斜率分别为k₁，k₂，试问，k₁•k₂是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请加以说明．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且A（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{1}{2}$），建立方程，求出a，b，即可求椭圆的标准方程；
（2）由题意，设A（m，n），则D（-m，0），求出直线AD的方程，可得E的坐标，再求k₁•k₂为定值．

解答 解：（1）∵椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且A（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\frac{3}{2}}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{4}}{{b}^{2}}$=1，
∴a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1；
（2）不妨设点A（x₁，y₁），x₁＞0，y₁＞0，由椭圆的对称性可知带你C，B的坐标分别为（-x₁，y₁），（-x₁，-y₁），D（x₁，0），设点E（x₂，y₂）．
因为点A，E都在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上，所以有$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$=1和有$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}$=1．
既有$\frac{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$=0，即$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=-$\frac{{b}^{2}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{a}^{2}（{y}_{2}-{y}_{1}）}$．
又直线AB的斜率k₁=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$．直线BE的斜率k₂=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$．
由题意得k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}（{y}_{2}+{y}_{1}）}{{x}_{1}（{x}_{2}+{x}_{1}）}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$（-$\frac{{b}^{2}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{a}^{2}（{y}_{2}-{y}_{1}）}$）
因为A，D，E三点共线，所以k_AE=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$与k_AD=$\frac{{y}_{1}-0}{{x}_{1}-（-{x}_{1}）}$=$\frac{{y}_{1}}{2{x}_{1}}$相等．
即$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{1}}{2{x}_{1}}$，所以k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$（-$\frac{{b}^{2}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{a}^{2}（{y}_{2}-{y}_{1}）}$）=-$\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}}$为定值．
故k₁•k₂为定值-$\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}}$

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．