Question

16．已知函数f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，若对任意的x₁，x₂∈[e²，+∞），有|$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$|＞$\frac{k}{{x}_{1}•{x}_{2}}$，则实数k的取值范围为（　　）

• A． （-∞，2]
• B． （-∞，1）
• C． [2，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 根据不等式单调函数的单调性关系，将不等式进行转化，利用导数求函数的最值即可得到结论．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，
∴f′（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，
故f（x）在[e²，+∞）上单调递减，不妨设x₁≥x₂≥e²，
则|$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$|＞$\frac{k}{{x}_{1}•{x}_{2}}$?f（x₂）-f（x₁）＞k（$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$），
?f（x₂）-k•$\frac{1}{{x}_{2}}$＞f（x₁）-k•$\frac{1}{{x}_{1}}$，
?函数F（x）=f（x）-$\frac{k}{x}$=$\frac{1+lnx}{x}$-$\frac{k}{x}$在[e²，+∞）上单调递减，
则F′（x）=$\frac{k-lnx}{{x}^{2}}$≤0在[e²，+∞）上恒成立，
∴k≤lnx在[e²，+∞）上恒成立，
∵在[e²，+∞）上，（lnx）_min=lne²=2，
故k∈（-∞，2]，
故选：A

点评 本题主要考查导数的综合应用，根据导数的几何意义求出a，以及函数极值，最值和导数之间的关系是解决本题的关键．