Question

（2014•江门模拟）已知数列{a_n}的首项a₁=2，?n∈N^*，点（a_n，a_n+1）都在直线x-2y+1=0上．
（1）证明：数列{a_n-1}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由点（a_n，a_n+1）都在直线x-2y+1=0上，可得a_n-2a_n+1+1=0，变形为a_n-1=2（a_n+1-1），即可证明数列{a_n-1}是等比数列；
（2）由（1）利用等比数列的通项公式即可得出；
（3）利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答：（1）证明：∵点（a_n，a_n+1）都在直线x-2y+1=0上，∴a_n-2a_n+1+1=0，
变形为a_n-1=2（a_n+1-1），an+1-1=

1

2

(an-1)，又a₁-1=1≠0，
∴数列{a_n-1}是等比数列，首项为1，公比为

1

2

．
（2）解：由（1）得an-1=1×(

1

2

)n-1，
∴an=1+21-n．
（3）Sn=(1+20)+(1+2-1)+(1+2-2)+…+(1+21-n)
=n+（2⁰+2^-1+2^-2+…+2^1-n）
=n+

1-2-n

1-2-1

=n+2-2^1-n．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及前n项和公式，恰当变形是解题的关键，属于中档题．