Question

如图所示，为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变．
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（Ⅱ）过D点且与AB不垂直的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，问是否存在这样的直线l使

OM

+

ON

与

AQ

平行，若平行，求出直线l的方程，若不平行，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先以AB，OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，利用曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变可得曲线C为以O为中心，以A，B为焦点的椭圆，再求出对应的a，b，c即可．
（Ⅱ）先把直线直线l的方程与椭圆方程联立，求出点M、N的坐标和斜率的关系以及斜率的取值范围，再利用

OM

+

ON

与

AQ

平行，求出对应的斜率看是否符合要求即可．

解答：解：（Ⅰ）以AB，OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系．（1分）|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2

22+1

=2

5

＞|AB|=4
∴曲线C为以O为中心，以A，B为焦点的椭圆，（3分）
设长半轴长为a，短半轴长b，半焦距为c
∴a=

5

，c=2，b=1所以所求椭圆C的方程为

x2

5

+y2=1（5分）
（Ⅱ）设存在这样的直线l使

OM

+

ON

与

AQ

平行，设直线l方程为y=kx+2
由

y=kx+2 x2 5 +y2=1

消去Y，整理得（5k²+1）x²+20kx+15=0，（7分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）△=（20k）²-4（5k²+1）×15=20（5k²-3）＞0?k2＞

3

5

．
x1+x 2=

-20k

5k2+1

，y1+y2=k(x1+x2)+4=

4

5k2+1

（9分）

OM

+

ON

=(x1+x 2，y1+y2)，

AQ

=（2，1）
∵

OM

+

ON

与

AQ

平行
∴

-20k

5k2+1

×1=

4

5k2+1

×2∴k=-

2

5

（11分）
∴k=-

2

5

与k2＞

3

5

矛盾
所以不存在这样的直线l使

OM

+

ON

与

AQ

平行（12分）

点评：本题涉及到圆，直线于椭圆以及向量共线问题，是对知识的综合考查．作这一类型题，一定要认真读题，把题中条件转化为数学符号．