Question

已知f（x）=2sin²ωx+2sinωxsin（-ωx）（ω＞0）最小正周期为π
（1）求函数f（x）的单调递增区间及对称中心坐标；
（2）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．

Answer 1

解：（1）f（x）=2sin²ωx+2sinωxsin（-ωx）=1-cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx-）+1，
∵T==π，∴ω=1，∴f（x）=2sin（2x-）+1．
令 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z，故函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．
令2x-=kπ，k∈z，解得 x=+，k∈z，故函数的对称中心为 （ +，0），k∈z．
（2）∵0≤x≤，∴-≤2x-≤，∴-≤sin（2x- ）≤1，∴0≤f（x）≤3，
故函数f（x）在区间[0，]上的取值范围是[0，3]．
分析：（1）利用三角函数的恒等变换求得f（x）的解析式为 2sin（2ωx-）+1，由周期求得ω=1，可得f（x）=
2sin（2x-）+1，由此求得函数的增区间以及对称中心．
（2）由0≤x≤，可得≤2x-≤，得到-≤sin（2x- ）≤1，由此求得 f（x） 的值域．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．