Question

已知圆M：x²+y²-4x-8y+m=0与x轴相切．
（1）求m的值；
（2）求圆M在y轴上截得的弦长；
（3）若点P是直线3x+4y+8=0上的动点，过点P作直线PA、PB与圆M相切，A、B为切点．求四边形PAMB面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）令y=0，利用△=0，即可求m的值；
（2）令x=0，求出圆M在y轴上的两个交点的纵坐标之差的绝对值，即可求弦长；
（3）由题意知：S_PAMB=2S_△PAM=2×

1

2

MB×PB=4PB=4

PM2-16

，利用PM的最小值等于点M到直线3x+4y+8=0的距离，即可求得结论．

解答：解：（1）令y=0，有x²-4x+m=0，由题意知，△=16-4m=0，∴m=4
即m的值为4．…（4分）
（2）设⊙M与y轴交于E（0，y₁），F（0，y₂），令x=0有y²-8y+4=0①，
则y₁，y₂是①式的两个根，则|y₁-y₂|=

64-16

=4

3

．
所以⊙M在y轴上截得的弦长为4

3

．…（9分）
（3）由题意知：S_PAMB=2S_△PAM=2×

1

2

MB×PB=4PB=4

PM2-16

，…（10分）
∵PM的最小值等于点M到直线3x+4y+8=0的距离…（11分）
∴PMmin=

6+16+8

5

=6…（12分）
∴(SPAMB)min=4

36-16

=8

5

，即四边形PAMB的面积的最小值为8

5

．…（14分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．