精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥面ABC,BC⊥AC,BC=AC=2,D为AC的中点.
(1)求证:AB1∥面BDC1
(2)若AA1=3,求二面角C1-BD-C的余弦值;
(3)若在线段AB1上存在点P,使得CP⊥面BDC1,试求AA1的长及点P的位置.

证明:(1)连接B1C,交BC1于点O,
则O为B1C的中点,∵D为AC中点,∴OD∥B1A,又B1A?平面BDC1,OD⊆平面BDC1
∴B1A∥BDC1 (3分)
解:(2)∵AA1⊥平面ABC,BC⊥AC,AA1∥CC1,∴CC1⊥面ABC,
则BC⊥平面AC1,CC1⊥AC
如图建系,则C1(3,0,0),B(0,0,2),D(0,1,0),C(0,0,0)

设平面C1DB的法向量为n=(x,y,z)则n=(2,6,3)
又平面BDC的法向量为∴二面角C1-BD-C的余弦值:
(8分)
(3)设

面BDC1
解得
所以AA1=2,点P位置是在线段AB1上且.(12分)
分析:(1)连接B1C,交BC1于点O,由三角形中位线定理,可得OD∥B1A,结合线面平行的判定定理可得AB1∥面BDC1
(2)以C为坐标原点,CC1,CA,CB方向分别为X,Y,Z轴正方向建立空间坐标系,求出平面C1DB的法向量和平面BDC的法向量,代入向量夹角公式,即可求出二面角C1-BD-C的余弦值;
(3)设设,求出CP的方向向量和平面BDC1的法向量,根据CP⊥面BDC1,构造关于a,λ的方程组,解方程组,求出a,λ的值,即可得到AA1的长及点P的位置.
点评:本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,其中(1)的关键是证得OD∥B1A,(2)(3)的关键是建立空间坐标系,将空间直线与平面的垂直关系及二面角问题转化为空间向量的夹角问题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,CC1⊥平面ABC,AC=BC=CC1=1,则直线A1C1和平面ACB1的距离等于
 
精英家教网

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点,AB=AC.
(1)证明:DE⊥平面BCC1
(2)设B1C与平面BCD所成的角的大小为30°,求二面角A-BD-C.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•黑龙江)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=
12
AA1,D是棱AA1的中点.
(Ⅰ)证明:平面BDC1⊥平面BDC
(Ⅱ)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为正三角形,侧棱AA1⊥平面ABC,D是BC中点,且AA1=AB
(1)证明:AD⊥BC1
(2)证明:A1C∥平面AB1D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•大连二模)如图,三棱柱ABC-A′B′C′,cc′=
2
,BC′=
2
,BC=2,△ABC是以BC为底边的等腰三角形,平面ABC⊥平面BCC′B′,E、F分别为棱AB、CC′的中点.
(I)求证:EF∥平面A′BC′;
(Ⅱ)若AC≤
2
,且EF与平面ACC'A'所成的角的余弦为
7
3
,求二面角C-AA'-B的大小.

查看答案和解析>>

同步练习册答案