Question

过抛物线y²=2x内的任意一点Q（s，t）（t²＜2s）作两条相互垂直的弦AB，CD，若弦AB，CD的中点分别为M，N，直线MN恒过定点（　　）

A．（s+1，0）

B．（|1-s|，0）

C．（1+2s，0）

D．（|1-2s|，0）

Answer 1

不妨取Q点是抛物线的焦点（

1

2

，0）．
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）
把直线AB：y=k（x-

1

2

）代入y²=2x，得
k²x²-（k²+2）x+

1

4

k²=0，
∴x₃=

x1+x2

2

=

1

2

+

1

k2

，y₃=k（x₃-

1

2

）=

1

k

同理可得，x₄=

1

2

+k²，y₄=-k，
∴k_MN=

y3-y4

x3-x4

=

k

1-k2

∴直线MN为y-

1

k

=

k

1-k2

（x-

1

2

-

1

k2

），即y=

k

1-k2

（x-

3

2

），
结合直线方程的点斜式，可得直线恒过定点P（

3

2

，0），
对照Q点是抛物线的焦点（

1

2

，0），定点P可以写成（

1

2

+1，0）．
故选A．