Question

【题目】已知函数 是奇函数且当 时是减函数，若 ，则函数 的零点共有（ ）
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个

Answer 1

【答案】D
【解析】根据题意，函数y=f（x）是定义域为R的奇函数，则f（0）=0，
当x∈（0，+∞）时是减函数，且f（1）=0，则函数在（0，+∞）上只有一个零点，
若函数y=f（x）是奇函数且当x∈（0，+∞）时是减函数，则f（x）在（-∞，0）为减函数，
又由f（1）=0，则f（-1）=-f（1）=0，则函数在（-∞，0）上只有一个零点，
故函数y=f（x）共有3个零点，依次为-1、0、1，
对于函数 ，
当 时，解得 ，
当 时，解得 或x=0，
当 时，解得 或 . 故函数 的零点共有7个.
所以答案是：D.
【考点精析】掌握函数单调性的性质和函数奇偶性的性质是解答本题的根本，需要知道函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．