Question

1．解关于x的不等式：ax²-2ax-1＜0，已知常数a∈R．

Answer 1

分析 讨论a=0与a＞0和a＜0时，对应不等式的解集是什么，分别求出即可．

解答 解：（1）当a=0时，不等式等价于-1＜0，对x∈R恒成立；
（2）当a＞0时，△=4a²+4a＞0恒成立，对应方程ax²-2ax-1=0的两根为
x₁=1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}+a}}{a}$，x₂=1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}+a}}{a}$，
所以原不等式的解集为{x|1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}+a}}{a}$＜x＜1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}+a}}{a}$}；
（3）当a＜0时，①若△=4a²+4a＜0，即-1＜a＜0，原不等式的解集为R；
②若△=4a²+4a=0，即a=-1时，原不等式化为（x-1）²＞0，解得{x|x≠1}；
③若△=4a²+4a＞0，即a＜-1时，原不等式的解集为{x|x＜1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}+a}}{a}$，或x＞1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}+a}}{a}$}；
综上：当a＜-1时，不等式的解集为{x|x＜1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}+a}}{a}$，或x＞1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}+a}}{a}$}，
当a=-1时，不等式的解集为{x|x≠1}，
当-1＜a≤0时，不等式的解集为R，
当a＞0时，不等式的解集为{x|1-$\frac{\sqrt{{a}^{2}+a}}{a}$＜x＜1+$\frac{\sqrt{{a}^{2}+a}}{a}$}．…（12分）

点评 本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应对字母系数进行讨论，是中档题目．